雷达信号处理所有公式整理 第三章 3.1 脉冲雷达数据的获取与存储结构

3.1 脉冲雷达数据的获取与存储结构1. 快时间与距离采样推导背景在快时间距离维采样中采样率 $F_s$ 必须满足奈奎斯特采样定理即大于等于信号带宽 。采用瑞利带宽 $\beta_r$ 作为近似采样率即 $F_s \beta_r$采样间隔 $T_s 1/\beta_r$ 。因为雷达电磁波往返目标需要双程时间距离 $R$ 与时间 $t$ 的关系为 $R ct/2$。 因此对应的距离单元间隔距离采样分辨率公式为$$\Delta R_s \frac{cT_s}{2} \frac{c}{2\beta_r} \quad \text{m} \tag{3.1}$$无需推导直接给出的理想相位调制脉冲基带频谱模型$$\Upsilon(F) \begin{cases} A \exp[j\Phi(F)], |F| \frac{\beta}{2} \\ 0, |F| \frac{\beta}{2} \end{cases} \tag{3.2}$$2. 多普勒带宽的推导由平台运动引起推导过程由于雷达平台的运动波束内不同角度的目标相对雷达的径向速度不同从而产生了多普勒展宽 。 已知基础多普勒频移公式$$F_{\rm D} \frac{2\nu}{\lambda} \cos \psi \quad \text{Hz} \tag{3.3}$$考虑天线波束宽度为 $\theta_3$视轴与速度矢量的夹角为 $\psi$。在波束的两个3dB边缘处斜视角分别为 $\psi - \theta_3/2$ 和 $\psi \theta_3/2$ 。这两个边缘对应的多普勒频移差即为多普勒带宽 $\beta_{\rm D}$。 利用和差化积公式 $\cos(A-B) - \cos(AB) 2\sin A \sin B$$$\beta_{\rm D} \frac{2\nu}{\lambda} \left[ \cos(\psi - \theta_3 / 2) - \cos(\psi \theta_3 / 2) \right]$$$$ \frac{4\nu}{\lambda} \sin\left(\frac{\theta_3}{2}\right) \sin\psi \tag{3.4}$$因为雷达天线波束宽度 $\theta_3$ 通常很小通常小于 5°可采用小角度近似 $\sin(\theta_3/2) \approx \theta_3/2$ 。代入上式得到斜视情况下的简化多普勒带宽$$\beta_{\rm D} \approx \frac{2\nu\theta_3}{\lambda}\sin\psi \quad \text{Hz} \tag{3.5}$$若雷达为前视$|\psi| [cite_start] \theta_3/2$主瓣包含速度矢量方向最大多普勒频移出现在正前方此时夹角为0余弦值为1。因此带宽需用正前方的最大值减去波束边缘的最小值 。完整的表达式为$$\beta_{\rm D} \approx \begin{cases} \frac{2\nu\theta_3}{\lambda}\sin\psi \text{Hz,} \quad |\psi| \frac{\theta_3}{2} \text{(斜视)} \\ \frac{2\nu}{\lambda} [1 - \cos(\psi \theta_3/2)] \text{Hz,} \quad |\psi| \frac{\theta_3}{2} \text{(前视)} \end{cases} \tag{3.6}$$3. 盲多普勒、盲速与距离模糊无需推导的基础定义$$F_{Db} PRF \frac{1}{T} \quad \text{Hz}; \quad v_{b} \frac{\lambda}{2} PRF \frac{\lambda}{2T} \quad \text{m/s} \tag{3.7}$$$$F_{\rm D} F_{\rm Da} n \cdot F_{\rm Db}; \quad v v_{\rm a} n \cdot v_{\rm b} \tag{3.8}$$无模糊距离推导为保证在下一个脉冲发射前接收到完整回波回波时延加上脉宽必须小于脉冲重复间隔 $T$ 即 $2R_{ua}/c\tau T$。通常 $T \gg \tau$所以$$R_{\text{ua}} \frac{c}{2}(T - \tau) \approx \frac{c}{2PRF} \tag{3.9}$$将式 (3.7) 代入上式得到无模糊距离与无模糊多普勒的制约关系 $$R_{\rm ua}F_{\rm Db} \frac{c}{2}, \quad R_{\rm ua}v_{\rm b} \frac{\lambda c}{4} \tag{3.10}$$视在距离与真实距离关系$$R_0 R_a n \cdot R_{ua} \tag{3.11}$$3.2 多普勒频谱采样频域奈奎斯特速率推导DTFT与DFT的关系离散时间信号 $y_s[m]$ 的离散时间傅里叶变换DTFT是连续函数 $$\Upsilon_s(\omega) \equiv \sum_{m-\infty}^{\infty} y_s[m] e^{-j\omega m} \quad \omega \in (-\pi, \pi) \tag{3.12}$$对该频谱进行 $K$ 点等间隔采样即离散傅里叶变换 DFT$$\Upsilon_s[k] \Upsilon_s\left(\frac{2\pi k}{K}\right) \quad k \in [0, K-1] \tag{3.13}$$为探究频域采样对时域信号的影响我们对采样后的频谱进行逆DFT计算。将式 (3.12) 代入逆变换公式中交换求和顺序 $$\hat{y}_{s}[m] \frac{1}{K} \sum_{k0}^{K-1} \left( \sum_{p-\infty}^{\infty} y_{s}[p] e^{-j2\pi pk/K} \right) e^{j2\pi mk/K}$$$$ \sum_{p-\infty}^{\infty} y_{s}[p] \left[ \frac{1}{K} \sum_{k0}^{K-1} e^{j2\pi (m-p)k/K} \right] \tag{3.14}$$方括号内是周期性复指数序列的求和根据正交性当 $m-p$ 是 $K$ 的整数倍即 $m-p qK$时求和结果为1否则为0。这可以用离散单位脉冲函数表示 $$\frac{1}{K} \sum_{k0}^{K-1} e^{j2\pi(m-p)k/K} \sum_{q-\infty}^{\infty} \delta[m-p-qK] \tag{3.15}$$代入后得到最终的重构时域信号。这表明频域的采样等价于时域信号以 $K$ 为周期进行周期延拓$$\hat{y}_s[m] \sum_{q -\infty}^{\infty} y_s[m - qK] \quad m \in [0, K - 1] \tag{3.16}$$为避免时域发生混叠采样点数必须满足 $K \geqslant M$由此得出频域的奈奎斯特采样间隔限制 $$\omega_s \leqslant \frac{2\pi}{M} \quad \text{rad} \tag{3.17}$$(注式 3.18 书中似乎跳过了编号原文未展示)单纯复正弦信号模型及其DTFT结果 (数字sinc函数)$$y_s[m] Ae^{j\omega_p M} \quad m \in [0, M-1] \tag{3.19}$$$$\Upsilon_{s}(\omega) A \frac{\sin[(\omega - \omega_{D})M/2]}{\sin[(\omega - \omega_{D})/2]} \exp\left[-j\left(\frac{M-1}{2}\right)(\omega - \omega_{D})\right] \tag{3.20}$$为了将跨越损失采样点错过峰值限制在 3 dB 内所需的过采样条件$$K \ge \frac{2\pi}{5.58} M 1.13M \tag{3.21}$$3.3 空间和角度维采样1. 空间阵列采样推导电磁波以波长 $\lambda$ 和偏离法向角度 $\theta$ 入射根据波前相位差可定义波数空间角频率和对应的空间频率 $$K_x \frac{2\pi}{\lambda} \sin \theta \quad \text{rad/m} \tag{3.22}$$$$F_x \frac{1}{\lambda}\sin\theta \quad \text{周期/m} \tag{3.23}$$角度 $\theta$ 的物理取值范围为 $[-90^{\circ}, 90^{\circ}]$。因此空间频率的最大跨度带宽为 $$\beta_x \frac{1}{\lambda} \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) - \frac{1}{\lambda} \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) \frac{2}{\lambda} \tag{3.24}$$根据奈奎斯特准则阵元间距 $d$ 必须小于等于空间带宽的倒数 $$d \le \frac{1}{\beta_{x}} \frac{\lambda}{2} \quad \text{m} \tag{3.25}$$2. 角度采样推导距离平均反射系数与双程天线方向图卷积模型$$y(\theta; R_0) A_r \int_{-\pi}^{\pi} E^2(\zeta - \theta) \hat{\rho}(\zeta; R_0) d\zeta \tag{3.26}$$理想矩形孔径天线的双程功率方向图为 $\text{sinc}^2$ 函数 。定义 $s \sin \theta$ 和 $\alpha D/\lambda$$$E^{2}(\theta) \left[ \frac{\sin(\pi D \sin \theta / \lambda)}{\pi D \sin \theta / \lambda} \right]^{2} \tag{3.27}$$$$E^{2}(s) \left[\frac{\sin(\pi \alpha s)}{\pi \alpha s}\right]^{2} \tag{3.28}$$该方向图在 $s$ 域的傅里叶变换带宽为 $2\alpha$。为避免混叠$s$ 域的采样间隔需满足 $$T_s \leqslant \frac{1}{2\alpha} \tag{3.29}$$进行变量替换由微分 $ds \cos\theta d\theta$得角域采样间隔 $T_{\theta} T_s/\cos\theta$。在 $\theta0$ 视轴方向采样间隔要求最严格取得最小值 $T_s$。所以角域奈奎斯特间隔为$$T_{\theta} \leqslant \frac{1}{2\alpha} \frac{\lambda}{2D} \tag{3.30}$$引入3dB波束宽度公式 $\theta_3 k \lambda/D$对于均匀照射 $k0.89$$$\theta_3 k \frac{\lambda}{D} \frac{k}{\alpha} \quad \text{rad} \tag{3.31}$$结合上述两式得到基于波束宽度的角扫描步进要求 $$T_{\theta} \leqslant \frac{\theta_3}{2k} \tag{3.32}$$对于扫描速率为 $\Omega_0$ 的雷达发射脉冲间的角度变化为 $\Omega_0 \cdot PRI$。据此可得所需 PRF 的下界 $$PRF \ge \frac{2k\Omega_0}{\theta_3} \tag{3.33}$$3.4 I/Q 通道不均衡以及数字 I/QI/Q 失配误差推导在正交接收机中如果 I 通道理想Q 通道存在幅度失配误差因子 $(1\varepsilon)$相位失配 $\phi$以及两通道的直流偏置 $\gamma$ 和 $\kappa$。理想的输入相位 $\theta(t)$ 。 构建复信号 $x(t) I(t) jQ(t)$$$x(t) A\cos\theta \gamma j[A(1\varepsilon)\sin(\theta-\phi) \kappa]$$展开正弦项 $\sin(\theta-\phi) \sin\theta\cos\phi - \cos\theta\sin\phi$重新合并 $\cos\theta$ 和 $\sin\theta$ 项$$x(t) A\{[1-j(1\varepsilon)\sin\phi]\cos\theta j(1\varepsilon)\cos\phi\sin\theta\} (\gammaj\kappa)$$定义复常数 $\alpha$ 和实常数 $\beta$ 吸收大括号内的系数 $$x(t) \equiv A(\alpha\cos\theta j\beta\sin\theta) (\gammaj\kappa) \tag{3.34}$$利用简单的代数恒等式将 $\alpha$ 和 $\beta$ 分解为和差形式 $$\alpha \frac{\alpha \beta}{2} \frac{\alpha - \beta}{2}; \quad \beta \frac{\alpha \beta}{2} - \frac{\alpha - \beta}{2} \tag{3.35}$$将其代入式 (3.34) 并利用欧拉公式展开 $\cos\theta$ 与 $\sin\theta$。这揭示了失配误差的物理意义不仅产生主信号频率为正还泄漏了镜像信号分量频率为负系数为 $\frac{\alpha - \beta}{2}$以及直流偏置 $$x(t) A \left[ \frac{\alpha \beta}{2} \exp(j\theta) \frac{\alpha - \beta}{2} \exp(-j\theta) \right] (\gamma j\kappa) \tag{3.36}$$